曽呂利新左衛門のご褒美

こんにちは、認定プロ教師の齋藤です。
今回は数学にまつわる日本の昔話です。

昔、天下人の豊臣秀吉に御伽衆として仕えた曽呂利新左衛門(そろりしんざえもん)が、仕えていた秀吉から、褒美をやろうと言われました。
そこで新左衛門は「一日目は米一粒、2日目は米2粒、3日目は米4粒と、前の日の倍の分だけ米粒を81日間頂きたい」と答えました。
大層なものを要求されると思った秀吉はあっけにとられ、喜んでその褒美を与えました。

さてここで問題。
この通りにいくと、新左衛門は何粒の米をもらえるでしょうか。

答えは…
なんと2,417,851,639,229,258,349,412,351粒になります。
これは市販の10キログラムのお米に換算しておよそ483京個以上になります。
ちなみに「京」とは「兆」のさらに上の単位で、1京＝10,000兆になります。
ものすごい数の量ですね。

この計算、実は高校数学Bにおける「数列」で扱われる「等比数列」に関する計算でできるのです。
等比数列とは、前の数に決まった数をかけて得られる数を並べた数列のことで、新左衛門の要求する米粒を順に並べると、
1，2，4，8，16，32…と倍の数が並ぶことになります。
さて、この数を全て足したものはいくらになるかというと、なんと上記のような巨大な数になるのです。
高校数学で学習する公式を用いると、「2の81乗－１(2を81回掛けたものから1を引く)」という計算になります。
ちなみにこの逸話は、資料によってはもらう日が51日だったり31日だったりします。それでも…

51日の場合：2,251,799,813,685,248粒
31日の場合：2,147,483,648粒

となります。後者の量でも10キロの米4,000個以上の量になるのですから、いかに大変な量かがわかります。

ちなみにこの話の結末は、膨大な量に仰天した秀吉が新左衛門に詫びを入れて別の褒美になった、ということだそうです。